Ch1 資訊視覺化
一.圓形圖剖析
1.圓形圖（pie chart）將你的資料切割成不同的群組（group）或分類（category）。這種圖形將資料分割成楔形切片（slice），每一片代表一個群組，共同構成一個圖形。每個切片的大小與每個群組所包含的數量成正比（相對於其他群組）。切片越大，該群組相對越普遍。特定群組裡的數量被稱為頻率（frequency）
﹡頻率：描述特定群組或區間內有多少個項目
2.如果你想要比較基本的比例（proportion），圓形圖會很有用。但若所有切片尺寸都類似，則不太適用
二.兩種長條圖
1.在長條圖（bar chart）上，每個長條代表一個特定分類，長條的長度則指明它的值。長條越長，值越大。所有長條都具有相同的寬度，讓我們更容易比較它們
2.長條圖的好處是它們提供了較高的精確度，很適合用在各個分類之尺寸大致相同的情況，因為能夠更精確地分辨出哪個分類具有最高的頻率，更容易看出細微的差別
3.垂直長條圖：在橫軸上顯示分類，在縱軸上顯示頻率或百分比，每個長條的高度指明該分類的值
4.水平長條圖：在橫軸上顯示頻率或百分比，在縱軸上顯示分類，每個長條的高度指明該分類的值
5.垂直長條圖比較普遍，但若是你的分類名稱太長，水平長條圖就比較適合
6.水平長條圖用於分類資料，尤其是分類名稱冗長的情況；垂直長條圖用於數值資料，或者分類資料－如果分類名稱很簡短
7.圓形圖善於顯示基本的比例；長條圖提供你更多的彈性與精確度
三.刻度
1.「顯示百分比之圖形」的金科玉律，就是設法在圖形上或者旁邊指明頻率，因為你無法只憑圖形就判斷它具有多少代表性
2.頻率是一種統計方式，指明某分類中有多少個項目存在
3.頻率密度表明一群值在特定區間裡的集中程度，提供你一種比較不等寬度之區間的方式，讓頻率與長條面積成正比，而不是高度
四.長條圖上的兩個資料組
1.分裂長條圖（split-category bar chart）：針對每個分類使用一個長條表示A頻率，而使用另一個長條表示B頻率。這種圖形很難看出子分類的比例與百分比
2.分段分類長條圖（segmented bar chart）：針對每個分類使用一個長條，但是按子分類的比例將長條分段，而整個長條的總長則反映出該分類的總頻率。這種圖形讓你迅速看見每個分類的總頻率，及A與B的頻率，另外，你也能夠一眼看出子分類的比例
五.分類與數值資料
1.分類資料（categorical data）：資料被分成描述性質或特性的幾個分類，因此，它也被稱作定性資料（qualitative data）。定性資料的一個例子就是遊戲類型；每個遊戲類型形成一個獨立的分類。關於定性資料要記住的重點是：資料值不能夠被解釋成數字
2.數值資料（numerical data）：處理的是數字。數值資料具有數字的意義，並且涉及量度或計數。數值資料也被稱作定量資料（quantitative data），因為它描述的是數量
3.數值資料處理數字和數量；分類資料處理文字和性質
六.處理分組資料
1.直方圖（histogram）讓你可以善用數值資料的好處，並改用連續的數值刻度來表現資料，這表示，取代使用長條來描述單一項目
2.直方圖就像長條圖，但是有兩個重要的差別：
（1）每個長條的面積與頻率成正比
（2）圖形上的長條之間沒有間隙
3.直方圖是專門處理分組資料的圖形，看起來像長條圖，但是每個長條的高度等於頻率密度，而不是頻率
4.使用直方圖比起一般的長條圖，會將你的資料表示得更好，因為你還是在處理分組資料，你真正想要的是讓分組的頻率與它的面積成正比，而不是高度
5.不同的長條必須相交界，而且通常在兩者正中間，然而，這完全看你如何捨位或進位你的值。當你捨位或進位時，通常都會將它們捨位或進位到最近的整數
6.直方圖的優點在於：它是數值的，你可以用它來顯示每個區間的寬度及頻率
七.製作直方圖
1.建立直方圖的第一步是檢視每個區間（interval），計算每個區間需要多大的寬度，必須涵蓋多大的領域。做這件事的同時，我們必須確認直方圖上的長條沒有間隙
2.若長條之間有空隙，則應稍微擴充它們的範圍，這樣做會在不同區間之間形成單一邊界，並確保直方圖的長條之間沒有間隙
3.因為所有的區間都具有相同的寬度，透過為每個範圍繪製垂直長條，我們建立了直方圖，並且使用上述的邊界形成每個長條的開始與結束。每個長條的高度就等於頻率
八.調整長條面積
1.直方圖的長條面積必須與頻率成正比
2.就直方圖而言，長條的面積代表頻率
3.建立新的直方圖的步驟：
（1）步驟一：尋找長條的寬度。透過檢視每個區間所涵蓋的值域，找出長條需要多大的寬度
（2）步驟二：尋找長條的高度。既然有了寬度，就可以利用它們決定長條所需的高度。記住，我們必須讓每個長條的總面積與該分組的頻率成正比。 長條的高度被用來量度特定群組的高度有多集中（concentrated），這是衡量頻率有多密集的方式。因此，長條的高度被稱為頻率密度（frequency density）
（3）步驟三：與原先作法相同，但這一次我們使用頻率密度來當縱軸，而不是頻率
九.累積頻率圖
1.累積頻率（cumulative frequency）：特定值以下的總頻率，基本上就是前面分組的頻率總和
2.當你有了上限值與累積頻率，就可以把它們畫在圖形上。先繪製兩個軸，水平軸標示小時數，垂直軸標示累積頻率，一旦完成，就開始為每個上限值畫出對應的累積頻率，最後再將各點連接起來
3.使用累積頻率圖的關鍵是：你想要知道特定值以下的總頻率，而不是對特定值的頻率感興趣
十.折線圖探究
1.折線圖（line chart）擅長顯示資料的趨勢。對每一組資料來說，你先畫出資料點，再用直線將它們連接起來。你可以輕易地在同一張圖形上顯示多組資料，而不會把它們弄得過於凌亂
2.折線圖經常被用來顯示針對時間的量度，時間總是被畫在橫軸上，頻率則被畫在縱軸上。透過在橫軸上選定時間值，你可以讀取對應的頻率
3.折線圖應該只被用來表現數值資料，而不是分類資料，這是因為分類資料比較適合做比較，但不適合繪製趨勢線。只有在根據某種數值單位比較不同分類時，才適合使用折線圖，在此情況下，你會針對每個分類使用獨立的折線。你不應該在橫軸上使用不同的分類
Ch2 量度集中趨勢
一.均值（average）的類型
1.平均數（mean）：將全部數字加總，再除以總共有多少個數字。用於當資料很對稱並顯示只有一種趨勢時。計算方式為μ = Σx / n
2.中位數（median）：位於中間的值。用於當資料因離群數據的關係而有偏斜時。計算方式為(n+1)/2
3.眾數（mode）：具有最高頻率的值，且必定是資料組裡的某個數字。用於處理分類資料時、當資料分佈成二或多個群組時
﹡眾數不只能處理數值資料；對於分類資料也有效。事實上，它是唯一能夠處理分類資料的均值。當你在處理分類資料時，眾數代表最常出現的分類。具有最高頻率的分類或群組稱為眾數組（modal class）。若一組資料有兩個眾數，則稱之為雙峰的（bimodal）
一.離群數據
1.離群數據（outlier）：與大多數資料不相符的極端值
二.偏斜資料
1.偏斜資料（skewed）：因離群數據將整體資料向左或向右「拉」
Ch3 量度變動性與分散性
一.全距量度資料寬度
1.全距：是一種量度資料分散情形的機制，計算方式為：上界 - 下界
2.全距告訴我們資料的分佈涵蓋了多少數字，有點像是在量測策資料的寬度
3.全距只能描述資料的寬度，無法表明上下界之間的散佈情形
二.四分位數與內四分位距
1.因全距包含離群數據，要去掉它們的解決辦法之一，就是檢視一種迷你全距（mini range）
2.建構迷你全距的方式，就是只使用資料中心附近的值。以這種方式建構迷你全距，必須先以遞升排序排列這些值，再將資料分割成四個同樣大小的區塊，每個區塊包含四分之一的資料。接著使用落在外面兩個區塊之間的值，產生迷你全距
3.將資料分割成相等區塊的值被稱為四分位數（quartile），因為它們將資料分割成四分之一大小的區塊。尋找四分位數有點像是計算中位數一樣。代替尋找將資料分割成一半的值，我們要找的是將資料分割成四分之一的值
4.四分位數是將資料分割成四個區塊的值。最低的四分位數被稱為下四分位數（lower quartile），或者第一四分位數（first quartile，Q1）；最高的四分位數被稱為上四分位數（upper quartile），或者第三四分位數（third quartile，Q3）；中間的四分位數（Q2）就是中位數，將資料分成兩半。在上下兩個四分位數之間的全距，被稱作內四分位距（interquartile range，IQR）
5.內四分位距 = 上四分位數 - 下四分位數
三.四分位數探究
1.尋找下四分位數的位置：
（1）首先，計算n / 4
（2）若結果是整數，下四分位數就位在這個位置和下個位置之間。取這兩個位置的平均數就能夠得到下四分位數
（3）若結果不是整數，就直接進位，進位後的位置就是下四分位數的位置
2.尋找上四分位數的位置：
（1）首先，計算n / 4
（2）若結果是整數，上四分位數就位在這個位置和下個位置之間。取這兩個位置的平均數就能夠得到上四分位數
（3）若結果不是整數，就直接進位，進位後的位置就是上四分位數的位置
3.你若只是對較高的值有興趣，只想看看前四分之一的資料組中有哪些值，那麼，就使用上四分位數當作分界點。反之，亦然
四.將資料按百分比做切割
1.百分位數（percentile）是將資料分割成某種百分比的值，就像四分位數將資料分割成四分之一的區塊一樣
2.每個百分位數接對應到資料被分割的百分比，因此，第10個百分位數就是通過（超過）10%資料的值。廣義來說，第k個百分位數就是通過（超過）k%資料的值，通常以Pk表示
3.百分位數本身對於標示或判定順序或位置來說，是相當有用的，它讓你判斷特定值對於其他值來說有多大
4.尋找百分位數：
（1）首先，以遞昇順序排列所有的值
（2）在n個數字當中找到第k個百分位數的位置，從計算k(n / 100)開始
（3）假如結果是整數，百分位數就在k(n / 100)這個位置和下個位置之間。取這兩個位置的平均數就能夠得到百分位數
（4）若k不是整數，就直接進位，進位後的位置就是百分位數的位置
五.盒鬚圖
1.盒鬚圖或箱形圖（box and whisker diagram 或 box plot）專門用來顯示各種類型的全距。多組資料可以被顯示在相同圖表上，因此，對於資料組的比較來說是很有用的
2.要建立盒鬚圖，必須先根據刻度畫一個盒子（箱子），盒子的左側與右側分別代表資料的下四分位數與上四分位數，接著，在盒子裡面畫一條線標示中位數。這個盒子能讓你看到內四分距的範圍。之後，在盒子的兩側分別畫上一條「鬚」（whisker），顯示資料的上下界及全距的範圍
3.如果你的資料具有離群數據，全距會比較寬。在盒鬚圖中，「鬚」的長度會延伸到資料的上界與下界。透過檢視盒鬚圖的鬚長，你可以了解資料的偏斜狀況
4.若盒鬚圖是對稱的，就表示底層的資料很可能也是相當對稱的
六.變異數與標準差量度變動性
1.變異數：是一種量度分散性的方法，是「值與平均數之距離平方」的平均值。這種方法防止所有的距離彼此相互抵銷，是描述資料組分散性常見的方式
﹡變異數 = Σ(x-μ)^2 / n = (Σx^2 / n) - μ^2
2.使用變異數的問題在於：以「距離平方」來思考分散性是相當困難的。而利用標準差（standard deviation）就能解決這個問題，我們只需要取平方根即可
3.要尋找標準差σ，就要先計算變異數，再取平方根
4.假設一組值的標準差是3公分，你可以把它想成：平均來說，每個值距離平均數3公分
七.標準分數
1.標準分數（standard score）提供你一種跨資料組比較值的機制，不同資料組具有個別的平均數與標準差。標準分數是一種在不同情境下比較相關資料值的方法。
﹡z = x - u / σ
2.標準分數是一種比較值的方式，就好像這些值來自同一組資料或分佈
Ch4 計算機率
一.尋找機率
1.事件：奠基於發生機率的輸出或結果
2.事件A發生的機率： P(A) = n(A) / n(S)
﹡P(A)：發生事件A的機率；n(A)：達成事件A的方法數；n(S)：所有可能的輸出數
﹡S被稱為機率空間（possibility space），或者樣本空間（sample space），是參照到所有可能輸出的簡單表示。所有可能發生的事件都是S的子集合
二.機率與范氏圖
1.先畫出一個代表機率空間S的舉行，再為每個相關的事件畫上圈圈
2.有一種指明「未發生事件A」的簡單方式－A’。事件A’代表事件A的互補事件（complementary event）
﹡P(A’) = 1 - P(A)
三.互斥事件與相交事件
1.若兩個獨立（separate）事件互斥（mutually exclusive），則只會有一個事件會發生
2.若兩個獨立事件相交（intersect），則兩個事件有可能同時發生
四.交集與聯集
1.A∩B表示A與B交集（intersection），代表兩個事件共同的元素
2.A∪B表示A與B聯集（union），代表包含在A或B裡的所有元素
3.若A∩B = 0 ，表示事件A與事件B互斥
4.若A∪B = 1 ，則A與B被稱為互無遺漏或窮盡周延（exhaustive），共同構成整個機率空間S
五.條件機率
1.條件機率（conditional probability）量度「一個事件相關於發生另一個事件的發生機率」
2.若我們想表達「給定某事件已經發生的條件下，另一個事件發生的機率」，可以使用”|”符號表是「給定...的條件下」，代替說「給定事件B已經發生的條件下，A發生的機率」，可以簡潔地表達為：P(A | B)
﹡P(A | B) = P(A∩B) / P(B)
=>P(B | A) = P(B∩A) / P(A)
六.機率樹
1.機率樹不只能幫助你以視覺化的方式表現機率，還能幫助你計算它們
2.透過將相連結之上下層分枝的機率相乘，你就可以找到交集的機率
3.使用機率樹的訣竅：
（1）處理分層：試著找出你所需要之各個分層的機率
（2）填入你所知道的資訊：假如你擁有一系列的機率，就將它們放進機率樹裡頭
（3）記住，同一組分支的機率總和為1：假如你將由同一點衍生出來的所有分支的機率加總起來，總和應為1。記住，P(A’) = 1 - P(A)
（4）牢記公式：P(A | B) = P(A∩B) / P(B)
七.總合機率法則
1.總合機率法則（Law of Total Probability）：提供一種方式，根據條件機率找出特定事件的總機率
2.若你有事件A與事件B，那麼：
P(B) = P(B∩A) + P(B∩A’)
= P(A) P(B | A) + P(A’) P(B | A’)
八.貝氏定理
1.貝氏定理（Bayes’ Theorem）：提供你一種尋找反方向條件機率的方法
2.若事件A’代表事件A的互斥事件，而B代表另一個事件，那麼：
P(A | B) = P(A) P(B | A) / P(A) P(B | A) + P(A’) P(B | A’)
﹡P(A∩B) = P(A) * P(B | A)
九.相依事件
1若事件A與事件B受彼此影響（互斥），則稱這兩個事件為相依（dependent）
2.若P(A | B) ≠ P(A)則此兩事件稱為相依
十.獨立事件
1.若事件A與事件B不受彼此影響，則稱這兩個事件為相依（independent）
2.若P(A | B) = P(A)則此兩事件稱為獨立。而P(A∩B) = P(A) * P(B)
Ch5 離散機率分佈
一.離散分佈探究
1.隨機變數（random variable）是一種能夠容納一組值的變數，每一個值都會關連到特定的機率
2.當我們想要參照某個隨機變數時，通常會使用大寫字母來代表它，像是X或Y；隨機變數所能容納的特定值則以小寫字母來代表，像是x或y。使用這種表示法時，P(X = x）代表隨機變數X出現特定值x的機率
3.若稱變數是離散的（discrete），表示它只能夠容納確切值
4.離散的意思是：資料由不相同且不連續的數值所構成，並且能夠計算出每個值所對應的機率
二.離散機率分佈的期望值與變異數
1.變數X的期望值（expectation）有點像是平均數，不過，期望值是針對機率分佈。要找到期望值，你必須將每個x值乘得到該值的機率，再將結果加總起來
2.計算變數X的期望值：E(X) = μ = Σx * P(X = x)
三.計算離散機率的變異數
1.期望值提供變數的典型值（typical value）或均值（average value），但並未告訴你值的分散情形，而我們可使用變異數來量度這樣的分散性或變動性
2.機率分佈之變異數X的期望值：
Var(X) = E(X - μ)^2
又因E(X) = Σx * P(X = x)
則原式=>Var(X) = Σ(x - μ)^2 * P(X = X)
3.機率分佈的標準差為變異數的平方根
四.線性轉換一般化公式
1.當任何隨機變數經轉換後，背後的機率保持不變，但值卻變了，稱為線性轉換（linear transform）
2.E(aX + b) = a E(X) + b
Var(aX + b) = a^2 Var(X)
﹡X為變數；a與b為常數
﹡在尋找變異數時，其計算過程牽涉到所有潛在值的平方，又因為所有的可能值都已經被乘上a，因此，最後的結果是變異數會被乘上a^2
五.觀察的速算公式
1.尋找n個獨立觀察（observation）的期望值：E(X1 + X2 + … +Xn) = n E(X)
2.尋找n個獨立觀察的變異數：Var(X1 + X2 + … +Xn) = n Var(X)
六.隨機變數的加減
1.隨機變數的加法：
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)
﹡直接加總變異數只對獨立隨機變數有效
2.隨機變數的減法：
E(X - Y) = E(X) -E(Y)
Var(X - Y) = Var(X) + Var(Y)
﹡隨機變數相減，變異數相加
﹡隨機變數雖然是相減，但機率分佈的變動性還是會增加
七.線性轉換的加減
1.aX與bY的相加：
E(aX + bY) = a E(X) + b E(Y)
Var(aX + bY) = a^2 Var(X) + b^2 Var(Y)
﹡因為是線性轉換，所以a與b都要取平方
2.aX與bY的相減：
E(aX - bY) = a E(X) - b E(Y)
Var(aX - bY) = a^2 Var(X) + b^2 Var(Y)
﹡變動性仍是增加
八.期望值與變異數
1.
統計量：E(aX + b)
公式：a E(X) + b
2.
統計量：Var(aX +b)
公式：a^2 Var(X)
3.
統計量：E(X)
公式：Σx * P(X = x)
4.
統計量：E(f(X))
公式：Σ f(x) P(X = x)
5.
統計量：Var(aX - bY)
公式：a^2 Var(X) + b^2 Var(Y)
6.
統計量：Var(X)
公式：E(X - μ)^2 = E(X^2) - μ^2
7.
統計量：E(aX - bY)
公式：a E(X) - b E(Y)
8.
統計量：E(X1 + X2 + X3)
公式：3E(X)
9.
統計量：Var(X1 + X2 + X3)
公式：3Var(X)
10.
統計量：E(X^2)
公式：Σx^2 P(X = x)
11.
統計量：Var(aX - b)
公式：a^2 Var(X)
Ch6 排列與組合
一.排列
1.n! = n * (n - 1) * (n - 2) * … * 3 * 2 * 1。這種方式稱為數字的階乘（factorial）。因此n!表示要將「從n遞減到1的數字」全部乘起來
2.0!的結果為1。因排列0個物件的方法只有一種
3.當n個物件排成圖形時，因有可能出現相對位置完全一樣的狀況，因此排列數為(n - 1)!
4.當n個物件排成圖形時，且順時針與逆時針方向被考慮成一樣，則排列數為(n - 1)! / 2
5.當n個物件排成圖形時，且必須考慮到絕對位置時，則排列數為n!
二.按類型排列的一般化公式
1.若你需要計算n個物件的排列方式，而其中有k個物件是一樣的。要找出排列數，先從計算n個「不同」物件的排列數開始，再除以k個物件（相同物件）的排列數：n! / k!
2.在計算「包含重複物件的排列」時，只要將排列總數（n!）除以每一組相同物件的排列數（j!、k!、等）
三.介紹排列
1.從n個物件中取出r個物件的排列數（number of permutations）為：nPr = n! / (n - r)!
﹡n為物件總數；r是我們要填入的位置數
2.排列看起來就像是將所有未選擇的物件都當成同類物件，所以你將n!除以(n - r)!
3.排列是從一群物件中挑選一些物件，並且必須考慮選擇的順序。排列比組合還要特定，因為你在乎物件的順序
4.排列：順序要緊
四.介紹組合
1.從n個物件中取出r個物件的組合數（number of combinations）為：nCr = n! / r! (n - r)!
2.組合看起來就像是你將所有未選擇的物件都當成同類物件，並且將所有選擇的物件也當成同類物件，因此，還要再額外除以r!
3.組合是從一群物件中挑選一些物件，但是不考慮選擇的順序。組合比排列還要一般化，因為你不在乎物件的順序，只要知道哪些物件被選取即可
4.組合：順序不要緊
Ch7 幾何、二項、與Poisson分佈
一.幾何分佈
1.如果你正在進行獨立嘗試，每次嘗試都有固定的成功或失敗機率，而且關注的重點是取得成功輸出所需的嘗試次數，那麼，你就可以使用幾何分佈（geometric distribution）
2.幾何分佈：P(X = r) = p * q^(r - 1)
﹡若正面的機率為p，則負面的機率為1-p，我們標示它為q。在第r次出現正面之前，會先出現(r - 1)次的反面
﹡P(X = r)的意思是「X的值為r的機率」
﹡當r = 1時，P(X = r)具有最大值，隨著r增加，機率越變越小，也就是說，出現正面的機率在第一次投擲時是最高的。這表示，任何機率分佈的眾數總是1，因為眾數是具有最高機率的值
3.不等式的幾何分佈：
（1）P(X > r) = q^r
﹡P(X > r)代表投擲超過r次才會出現正面的機率，亦即會先出現r次的反面
（2）P(X ≤ r) = 1 - q^r
﹡投擲少於或等於r次即出現正面的機率
4.當X變數遵循幾何分佈，在當中，每次嘗試的成功機率為p時，就能夠被寫成：X ~ Geo(p)
二.幾何分佈的期望值與變異數
1.若X ~ Geo(p)，則期望值E(X) = 1 / p
2.若X ~ Geo(p)，則變異數次數Var(X) = q / p^2
三.二項分佈
1.二項式分佈包含以下情境：
（1）你正在進行獨立嘗試
（2）每次嘗試都有固定的成功或失敗機率
（3）嘗試次數無限
2.二項分佈與幾何分佈的差別在於：你所關注的是成功的次數
3.以變數X代表在n次嘗試中得到成功輸出的次數。獲得r次成功的機率：
P(X = r) nCr p^r q^(n - r)
nCr = n! / r! (n - r)!
﹡p是每次嘗試中得到成功輸出的機率，n是嘗試次數。這個分佈可寫成X ~ B(n, p)
期望值：E(X) = n * p
Var(X) = n * p * q
4.如果你有固定的嘗試次數，並且想要知道得到特定成功次數的機率，就必須使用二項分佈（你也可以利用二項分佈來判定：在n次嘗試中，能夠期望會有多少次成功）；如果你所關注的重點是：在獲得第一次成功時，需要經歷多少次嘗試，則必須用幾何分佈
四.Poisson分佈
1.Passion分佈包含以下情境：
（1）在給定區間內，個別事件會隨機且獨立地發生。「區間」可以是一段時間或一個空間
（2）你已經知道給定區間內的平均發生次數與發生率（有限的）。平均發生次數通常以λ表示
2.使用變數X來表示給定區間內的發生次數。若X遵循Poisson分佈，給定區間內的平均發生次數或發生率為λ，則此分佈可寫成：X ~ Po(λ)
尋找特定區間內發生r次的機率：P(X = r) = (e^(-λ) λ^r) / r!
期望值：E(X) = λ
變異數：Var(X) = λ
3.若X與Y是獨立隨機變數，則
P(X + Y) = P(X) + P(Y)
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
那就表示，若X ~ Po(λx)以及Y ~ Po(λy)，則
X + Y ~ Po(λx + λy))
4.當二項分佈的X ~ B(n, p)，n大且p小，X就可以近似為
X ~ Po(n p)
Ch8 一般常態
一.連續資料
1.連續資料（continuous data）通常是以某種方式量測而得的資料，而不是以計數的方式得到的，而且經常取你所需要的精密度
二.頻率與連續資料
1.在處理離散資料時，我可以產生具體的機率分佈，我們可以在表格裡顯示每個值的機率，或者確切地指明它是某遵循明確的機率分佈，如二項分佈或Poisson分佈；而在處理連續資料時，我們不能夠提供每個值的機率，因為不可能指明每個確切值為何，相反地，我們必須把焦點放在特定的精確度上，以及得到某個值域範圍的機率
三.機率密度函數
1.我們能夠使用機率密度函數（probability density function）來描述連續隨機變數（continuous ）的機率分佈
2.機率密度函數f(x)告訴我們機率分佈的形狀是什麼，你能夠用它來尋找「連續變數在某個範圍內的機率」。其總面積必為1
3.對連續隨機變數來說，機率密度函數的面積代表機率。要尋找特定值域的機率，就從繪製機率密度開始。取得特定值域的機率，就是機率密度下、某值域範圍內的面積
四.介紹常態分佈
1.常態分佈（normal distribution或稱高斯分佈（Gaussian distribution））之所以被稱為「常態」的原因，是因為在現實生活中，你「通常」會預期看到這樣的連續資料
2.常態分佈曲線呈現鐘形（bell curve），且是對稱的，最高的機率密度會出現在中央，從平均數往兩邊走，機率密度逐漸漸少。平均數、中位數，與最高機率密度都位在中央
3.常態分佈由兩個參數定義而成，μ及σ^2。μ告訴你鐘形曲線的中心位置，σ告訴你資料的分佈情形。若連續機率變數X遵循平均數μ且標準差σ的常態分佈，一般會寫成：X ~ N(μ, σ^2)
﹡當σ^2越大，常態分佈的形狀就會變得越平坦、越寬廣
五.計算常態機率
1.要尋找常態機率分佈，得先識別出你必須為它計算機率的值域範圍，接著找出該範圍之邊界的標準分數（standard score），使用Z = (X - μ) / σ，在此，Z ~ N(0,1)
六.機率表探究
1.使用機率表來尋找你所需要的機率，通常是先找到一整塊面積，然後扣掉你不需要的部份
2.尋找P(Z > z)：P(Z > z) = 1 - P(Z < z)
3.尋找P(a < Z < b)：P(a < Z < b) = P(Z < b) - P(Z < a)
Ch9 超越常態
一.常態分佈探究
1.若你正在處理常態變數的組合，能夠找到X + Y的分佈會是很有用的。若獨立隨機變數X與Y皆是常態分佈，你就更能利用X與Y的平均數和變異數計算出X + Y的分佈
2.要尋找X + Y的平均數和變異數，可以利用針對離散機率分佈所使用的相同公式。換句話說，若：X ~ N(μx, σx^2)以及Y ~ N(μy, σy^2)，那麼X + Y ~ N(μ, σ^2)，而在此μ = μx + μy ；σ^2 = σx2 + σy2
換言之，X + Y的平均數等於X的平均數加上Y的平均數；X + Y的變異數等於X的變異數加上Y的變異數
3.要想尋找X - Y的平均數和變異數，可以利用針對離散機率分佈所使用的相同公式。換句話說，若：X ~ N(μx, σx^2)以及Y ~ N(μy, σy^2)，那麼X - Y ~ N(μ, σ^2)，而在此μ = μx - μy ；σ^2 = σx2 + σy2
換言之，X - Y的平均數等於X的平均數減掉Y的平均數；X - Y的變異數等於X的變異數加上Y的變異數
二.線性轉換 vs. 獨立觀察
1.線性轉換：
（1）若X的線性轉換（linear transform）形式為aX + b，在此，X ~ N(μ, σ^2)。因X是常態分佈，所以aX + b也是常態分佈
（2）期望值：在檢視離散機率分佈時，我們發現E(aX + b) = a E(X) + b，X遵隨常態分佈，E(X) = μ。因此，E(aX + b) = aμ + b
（3）變異數：在檢視離散機率分佈時，我們發現Var(aX + b) = a^2 Var(X)。我們知道，在此情況下，Var(X) = σ^2，所以Var(aX + b) = a^2 * σ^2
（4）綜合上述結論，可以得到：aX + b ~ N(aμ + b, a^2 σ^2)
2.獨立觀察：
（1）若X1, X2,...,Xn是X的n個獨立觀察（independent observation），在此，X ~ N(μ, σ^2)
（2）期望值：E(X1 + X2 +...+ Xn) = n E(X)
（3）變異數：Var(X1 + X2 +...+ Xn) = n Var(X)
（4）綜合上述結論，可以得到：X1 + X2 +...+ Xn ~ N(nμ, nσ^2)
3.線性轉換影響的是機率分佈裡頭的值；獨立觀察則與你所處理的對象數量有關。一般而言，若值本身在改變，就是在處理線性轉換；若數量改變，就是在處理獨立觀察
三.連續性校正
1.在特定條件下，我們可以使用常態分佈近似二項分佈。若X ~ B(n, p)，np>5且nq>5，就可以使用X ~ N(np, npq)近似X ~ B(n, p)
2.若你要以常態分佈近似二項分佈，你就必須運用連續性校正（continuity correction）。這代表當你將離散值轉換到連續刻度時所需要做的小調整
3.尋找「≦」的機率：計算P(X ≦ a)形式的機率時，必須確認的關鍵在於：慎選你的值域範圍，好讓它包含離散值a。在連續刻度上，離散值a會對應到(a + 0.5)。這表示，若你使用常態分佈尋找P(X ≦ a)，實際上必須計算P(X < a + 0.5)，才能夠得到良好的近似。換句話說，你必須額外增加0.5
4.尋找「≧」的機率：若你要尋找P(X ≧ b)形式的機率時，必須確認你的值域範圍包含離散值b。在連續刻度上，離散值b會對應到(b - 0.5)，所以必須使用P(X > b -0.5)的範圍，確保你的值域範圍有包含它。換句話說，你必須額外減掉0.5
5.尋找「之間」的機率：計算P(a ≦ X ≦ b)形式的機率時，必須讓連續性校正確保a與b皆涵蓋在我們的值域範圍中，為了做到這一點，必須將值域範圍延伸到兩側以外0.5的區域。為了以常態分佈近似這個機率，必須使用P(a - 0.5 < X < b + 0.5)
四.使用常態分佈來近似Poisson分佈
1.若X ~ Po(λ)且λ > 15，就能使用X ~ N(λ, λ)來近似Poisson分佈
Ch10 使用統計抽樣
一.母群體vs.樣本
1.母群體（population）指的是當你正試圖量測、研究、或分析之對象所屬的整個群組，能夠指涉任何事物，關鍵在於母群體指的是整個群組當中的所有成員
2.樣本指的是選自母群體的一群項目，也就是對母群體具有代表性的子集合（small selection）
3.只涉及選自母群體之樣本的研究或調查被稱為樣本調查或抽樣調查（sample survey）
二.設計樣本
1.首先必須弄清楚的，是你的目標母群體（target population）究竟是什麼，以便知道要從哪裡收集你的樣本。目標母群體的意思是你正在研究或者想要從中收集資料的撙。在很大的程度上，你所選擇的目標母群體取決於你的研究目的。應盡可能地明確，才能產生對母群體具代表性的樣本
2.定義好你的目標母群體後，就要再定義抽樣單元（sampling unit），指的是你決定要採集何種物件
3.最後，你必須列出目標母群體內的全部抽樣單元，最好讓每個抽樣單元都有名稱或編號，這份清單稱為抽樣底冊（sampling frame），基本上就是一個你能夠從中選取樣本的清單
三.樣本裡的偏差
1.無偏樣本（unbiased sample）是目標母群體的代表，這表示它具有與母群體相似的特性，並且能夠使用這些特性對母群體本身進行推論。無偏樣本的分佈形狀類似於所屬母群體的分佈形狀
2.有偏樣本（biased sample）則是與母群體具有不同的特性
四.簡單隨機抽樣
1.簡單隨機抽樣（simple random sampling）：以隨機過程來挑選出n個抽樣單位，由n個抽樣單元構成之所有可能樣本被挑選出來的機會都相同
2.使用簡單隨機抽樣時，有以下兩種選擇：
（1）還原抽樣（sampling with replacement）：每當你選出抽樣單元，並且記錄好相關資訊時，會將它放回母群體
（2）不還原抽樣（sampling without replacement）：被挑選出的抽樣單元不再放回母群體
3.使用簡單隨機抽樣的主要方法有以下兩種：
（1）抽籤
（2）隨機數字產生器（random number generator）：當抽樣底冊過於龐大時，則應使用隨機數字產生器或隨機數字表（random number table）
五.分層、叢聚、與系統抽樣
1.分層抽樣（stratified sampling）：將母群體分成幾個群組，每個群組裡的成員共享類似的特性，這些特性或群組被稱為分層（strata，複數），而每個個別的群組被稱為一個分層（stratum，單數）
2.叢聚抽樣（cluster sampling）：針對叢聚進行簡單隨機抽樣，接著調查這些叢聚當中的每一個裡頭的一切。叢聚抽樣有效的原因，是因為每一個叢聚都是類似的，附帶的好處是你不需要整個母群體所構成的抽樣底冊，就能順利進行。而叢聚的問題是：它可能不是完全隨機的
3.系統抽樣（systematic sampling）：以某種次序列出母群體，接著每隔k個項目就進行一次調查。系統抽樣相當簡單、快速，但其重大的缺點是：若母群體裡頭存在著某種循環或週期的模式，你的樣本將會有偏差
4.使用分層抽樣時，你將母群體分成不同的群組或分層，同一個分層裡的所有抽樣單元盡可能彼此類似，換句話說，你會使用某種特質或特性作為分層的基礎；使用叢聚抽樣時，你的目標是把群體分成一個個叢聚，盡可能讓每個叢聚彼此類似。
5.使用分層抽樣時，你會盡量讓每個分層不相同；使用叢聚抽樣時，你會盡量讓每個叢聚相似
Ch11 估計母群體與樣本
一.母群體平均數的點估計量
1.母群體參數的點估計量（point estimator），是一種能夠用來估計母群體參數的函數或計算，舉例來說，母群體平均數（μ）的點估計量（^μ）就是樣本平均數（－x），因為我們能夠使用樣本平均數來估計母群體平均數
2.樣本平均數－x = Σx / n = ^μ（母群體平均數的點估計量）
﹡x代表樣本裡的值；n代表樣本的規模
二.母群體變異數的點估計量
1.使用樣本變異數估計母群體變異數的問題在於：樣本變異數傾向稍微低於母群體變異數，而偏低的程度取決於樣本的規模（值的數量）。若樣本規模較小，則樣本變異數與母群體變異數的差異就會變大，反之就會變小。因此，我們需要母群體變異數的點估計量，以取得比樣本變異數稍微高一點的計算結果，這表示對於母群體變異來說是稍微好一點的點估計量
3.母群體變異數σ^2 = Σ(x - μ)^2 / n
2.母群體變異數的點估計量^σ^2 = Σ(x - －x)^2 / (n - 1)
﹡^σ^2也常被寫成s^2
三.公式的記法
1.分子除以n會針對你所擁有的資料提供實際的變異數
2.若你擁有整個母群體的資料，那麼透過除以n，就會得到母群體的實際變異數。這表示，你必須使用σ^2的公式，並除以n
3.若你擁有一組來自母群體的樣本資料，那麼，你很可能要用它們來估計母群體的變異數。這表示，你必須使用s^2的公式，並除以n-1
四.比例的點估計量
1.若以X代表母群體裡頭的成功次數，X就會遵循具有參數n與p的二項分佈，n是母群體的人數，p是成功的比例。同樣地，母群體平均倏地最佳估計就是樣本平均數；母群體的成功比例之最佳推測就是樣本的成功比例
2.母群體成功比例的點估計量^P = Ps，在此Ps = 成功數量 / 樣本規模
﹡P = 機率 = 比例
五.尋找樣本機率
1.針對「樣本比例」本身尋找機率，需做下列事項：
（1）檢視跟我們正在考慮之樣本具有相同規模的全部可能樣本
（2）檢視全部可能樣本所構成的分佈，並且尋找比例的期望值與變異數
（3）一旦知道比例的分佈，就可以利用它來尋找機率
六.樣本比例的分佈
1.利用所有可能的樣本，構成樣本比例的分佈，稱為比例的抽樣分佈（sampling distribution of proportions），或者Ps的分佈
2.利用比例的抽樣分佈，你可以找到在規模為n的樣本當中成功比例的機率
3.Ps的期望值E(Ps) = E * (X / n) = E(X) / n = np / n = p
﹡p是母群體的比例
4.Ps的變異數Var(Ps) = Var * (X / n) = Var(X) / n^2 = npq /n^2 = pq / n
5.對變異數取平方根會得到Ps的標準差，標準差告訴我們樣本比例可能離p有多遠（亦即E(Ps)），這被稱為比例的標準誤差（standard error of proportion）：√(Var(Ps)) = √(pq / n)
6.Ps遵循常態分佈：Ps ~ (p, pq / n)
7.抽樣分佈需要做連續性修正（continuity correction），因此若你正在使用常態分佈近似Ps的機率，務必使用連續性修正 ±( 1 / 2n)
七.樣本平均數的分佈
1.在找出樣本平均數分佈之前，得先找出它的機率分佈：
（1）檢視與我們正在考慮之樣本具有相同規模的所有可能樣本
（2）檢視由全部樣本所構成的分佈，並且為樣本平均數尋找期望值與變異數
（3）一旦知道樣本平均數如何分佈，就利用它來尋找機率
2.樣本平均數－x = (x1 + x2 +...+ xn) / n
3.所有的可能樣本中產生樣本平均數的分佈，被稱為平均數的抽樣分佈（sampling distribution of means）或者－X的分佈
4.期望值E(－X) = E((X1 + X2 +...+ Xn) / n) = 1/n (E(X1) + E(X2) +...+ E(Xn)) = 1/n (μ + μ +...+ μ) = μ
5.變異數Var(－X) = σ^2 / n 。類似於期望值的推演過程
6.－X的標準差是變異數的平方根，這個標準差告訴你樣本平均數據離μ可能有多遠，被稱為平均數的標準誤差（standard error of the mean）：σ / √n
八.中央極限定理
1.中央極限定理（central limit theorem）指明：若你從非常態的母群體X取得樣本，又如果樣本的規模夠大，那麼，－X的分佈大致是常態的。若母群體的平均數與變異數是μ與σ^2，那麼－X ~ N(μ, σ^2 / n)
2.用於二項分佈：若你的母群體遵循二項分佈，X ~ B(n, p)，且n夠大，μ = np，σ^2 = npq，可得：－X ~ N(np, pq)
3.用於Poisson分佈：若你的母群體遵循Poisson分佈，X ~ Po(λ)，且n夠大，μ = σ^2 = λ，可得：－X ~ N(λ, λ / n)
4.你使用中央極限定理是來尋找與樣本平均數有關的機率，而不是樣本裡的值，這表示，你不必做任何形式的連續性修正
Ch12 建構信賴區間
一.信賴區間
1.信賴區間（confidential interval）：指明母群體平均數會存在於a與b之間，而a與b的確切值依賴於「你對該區間包含母群體平均數想要有多少信心度」
2.尋找信賴區間的四個步驟：
（1）選擇你的母群體統計量
（2）尋找它的抽樣分佈：找出平均數之抽樣分佈的期望值與變異數，將值代入μ以外的每個統計量，然後判斷我們可以使用－X的常態分佈
（3）決定信賴水準（confidence level）
（4）尋找信賴界線（confidence limit）
3.你應讓信賴區間盡可能地窄，但又寬得足以讓你合理地確信真實的平均數就在區間之內
二.尋找信賴區間的捷徑
1.母群體統計量：μ
母群體分佈：常態分佈
條件：知道σ^2、n大或小、－x是樣本平均數
信賴區間：(－x - c (σ / √n), －x + c (σ / √n))
2.母群體統計量：μ
母群體分佈：非常態分佈
條件：知道σ^2、n夠大、－x是樣本平均數
信賴區間：(－x - c (σ / √n), －x + c (σ / √n))
3.母群體統計量：μ
母群體分佈：常態或非常態分佈
條件：不知道σ^2、n夠大、－x是樣本平均數、s^2是樣本變異數
信賴區間：(－x - c (s / √n), －x + c (s / √n))
4.母群體統計量：μ
母群體分佈：二項分佈
條件：n夠大、ps是樣本比例、qs = 1 - ps
信賴區間：(ps - c √(psqs / n), ps + c √(psqs / n))
5.c值依賴你所需的信賴水準：
90% => c = 1.64
95% => c = 1.96
99% => c = 2.58
6.信賴區間為：統計量±(誤差邊際)
7.誤差邊際：c * (統計量的標準差)
三.t分佈簡介
1.當我們不知道母群體的實際變數為何時，這表示我們必須使用樣本估計σ^2。我們可以使用點估計量做到這一點，但是有個問題：樣本的規模太小，導致我們在估計裡會有很大的誤差。因此我們正在處理的淺在誤差意味著：常態分佈不能夠為－X提供足夠準確的機率，也就是說它不會提供給我們一個準確的信賴區間
2.假如母群體是常態的，σ^2未知，而且你只擁有小樣本，那麼，－X便遵循t分佈
3.針對小樣本估計母群體變異數時，t分佈會比較準確
4.t分佈的形狀取決於樣本規模。當樣本規模夠大時，它會傾向於常態分佈，但當樣本規模太小時，曲線看起來會較平坦
5.t分佈有一個參數v，v = n - 1，n為樣本規模，v被稱為自由度（number of degrees of freedom）
6.t分佈的標準分數T = (－X - μ) / (s / √n)
7.t分佈的信賴區間：(－x - t (s / √n), －x + t (s / √n))
8.母群體統計量：μ
母群體分佈：常態或非常態分佈
條件：不知道σ^2、n很小、－x是樣本平均數、s^2是樣本變異數
信賴區間：(－x - t (s / √n), －x + t (s / √n))
Ch13 假設檢定
一.假設檢定的程序
1.假設檢定（hypothesis testing）的六步驟：
（1）決定你要檢定的假設
（2）選擇檢定統計量（test statistic）
（3）為你的決策決定臨界域（critical region）
（4）尋找檢定統計量的p-value
（5）檢視樣本結果是否位在臨界域內
（6）進行決策
二.零假設與替代假設
1.零假設（null hypothesis）H0是你打算要測試的聲明，是你即將接受的聲明，除非有強大的反證出現
2.替代假設（alternate hypothesis）H1是相對於零假設的反向聲明，代表當有足夠強大的證據否定H0時我們會接受的聲明
3.進行假設檢定時，假定零假設為真。如果有足夠的證據否定它，你便會否決它並且接受替代原則
三.尋找臨界域
1.在我們能夠為假設檢定尋找臨界域之前，必須先決定顯著水準（significance level）
2.檢定的顯著水準α是：在拒絕零假設H0之前，你想要這個樣本結果有多麼不可能的量度。以百分比表示
3.在單尾檢定（one-tailed test）中，臨界域落在一組可能值當中的一端
4.在雙尾檢定（two-tailed test）中，臨界域落在一組可能值當中的兩端
四.尋找p-value
1.p-value是在臨界域的方向上，得到某個樣本結果或者更極端之結果的機率
2.若p-value落在臨界域內，就有足夠的證據否決你的零假設；若落在臨界域外，就沒有足夠的證據
五.假設的錯誤類型
1.第一型錯誤（Type I error）是你錯誤地拒絕實際為真的零假設
2.第二型錯誤（Type II error）是你錯誤地接受實際為假的零假設
﹡替代假設實際為真
3.當你得到第一型錯誤，那就表示零假設必須被拒絕，為了讓零假設被拒絕，你的樣本結果必須落在臨界域內
﹡零假設實際為真
4.得到第一型錯誤的機率是你的結果落在臨界域的機率，因為臨界域由檢定的顯著水準所定義，換句話說，第一型錯誤的機率P(Type I error) = α
5.計算第二型錯誤的步驟機率如下：
（1）確認你擁有具體的H1值
（2）尋找臨界域外的值域範圍
﹡若你的檢定統計量已經被標準化過，值域範圍必須被反標準化回來
（3）尋找得到此值域範圍的機率，假設H1為真
6.第二型錯誤的機率P(Type II error) = β
六.檢定力簡介
1.假設的檢定力（power）就是「正確地拒絕實際為假之零假設」的機率，換句話說，就是我們產生正確決策拒絕H0的機率
2.拒絕實際為假的H0實際上是產生第二型錯誤的相反，這表示power = 1 - β
Ch14 卡方分佈
一.χ^2分佈
1.χ^2分佈是利用檢定統計量檢視預期頻率與觀察頻率之間的差異，接著將得到觀察頻率的機率傳回
2.要找到檢定統計量，得先做一張表格，描述問題的觀察頻率與預期頻率，完成之後，再運用觀察頻率與預期頻率來計算：χ^2 = Σ ((O - E)^2 / E))
﹡O代表實際觀察頻率，E代表預期頻率
3.χ^2分佈具有兩個關鍵目的：
（1）它能被用來檢定適合度（goodness of fit），這表示你能夠利用它來檢定一組給定的資料，看看它們有多符合某特定分佈
（2）它也能用來測試兩個變數的獨立性，這是一種檢查兩者之間是否存在著某種關連的方式
二.自由度
1.自由度（degree of freedom）的數量v，代表用來計算檢定統計量X^2之獨立變數的數量，或者獨立資訊片段的數量
2.自由度的數量是我們必須計算的預期頻率數量，同時考慮到我們所擁有的任何限制：v = (分類的數量) - (限制的數量)
3.當v很小時，檢定統計量X^2得到低值的機率遠高於得到高值的機率，換句話說，觀察頻率很可能接近預期頻率；當v很大時，就會很接近常態分佈
4.指明你正在使用檢定統計量X^2的表示法為：X^2 ~ χ^2(v)
三.顯著性
1.利用χ^2分佈指明在觀察與預期頻率之間的差異有多顯著（significant），取決於顯著水準（level of significance）：χ^2 α(v)
四.χ^2假設檢定的步驟
1.決定要檢定的假設
2.尋找預期頻率與自由度
3.為決策決定臨界域
4.計算檢定統計量X^2
5.看看檢定統計量是否落在臨界域內
6.進行決策
五.χ^2的小抄
1.分佈：二項
條件（1）：你知道p是多少。v = n - 1
條件（2）：你不知道p是多少，你必須從觀察頻率估計它。v = n - 2
2.分佈：Poisson
條件（1）：你知道λ是多少。v = n - 1
條件（2）：你不知道λ是多少，你必須從觀察頻率估計它。v = n - 2
3.分佈：常態
條件（1）：你知道μ與σ^2是多少。v = n - 1
條件（2）：你不知道μ與σ^2是多少，你必須從觀察頻率估計它們。v = n - 3
六.自由度的一般化計算
1.在兩個變數的獨立性檢定中，假如你的列聯表（contingency table）有h列及k欄v = (h - 1) * (k - 1)
Ch15 相關與迴歸分析
一.二變量資料
1.單變量資料（univariate data）關係到單一變量的頻率或機率。它無法告訴你不同資料組之間的關連
2.二變量資料（bivariate data）針對每一個觀察提供兩個變數的值
3.若變數之一已經以某種方法控制住，或者被用來解釋另一個變數，則被稱為獨立（independent）或解釋（explanatory）變數；相對的，另一個變數則被稱為相依（dependent）或回應（response）變數
二.視覺化二變量資料
1.代替描繪值與頻率或機率的關係，你將一個變數畫在x軸，另一個變數畫在y軸，這類圖表被稱為散怖圖（scatter diagram或scatter plot）
三.誤差平方和簡介
1.代替看實際值與預期值之間的總差距，我們必須將差距平方加總起來，如此就能確保全部的值皆為正。這裡的距離平方總和被稱為誤差平方和（sum of squared error，SSE）：SSE = Σ (y - ^y)^2
Ch16 十大遺珠
一.散點圖與莖葉圖
1.散點圖（dotplot）將每個「值」所對應的「資料」描繪成小圓點，呈現在圖上。你將「值」標示在水平軸上，並且將「代表對應資料的小圓點」堆疊在同一欄上
2.莖葉圖（stemplot）用於定量資料，通常是在你的資料規模相當小的情況。左邊的項目被稱為莖（stem），右邊的項目被稱為葉（leaf）
二.分佈剖析
1.針對常態分佈的經驗法則（empirical rule）適用於任何遵循常態分佈的資料組，它指明在資料組當中幾乎所有的值都落在平均樹上下3個標準差之內的範圍：
（1）大約有68%的值會落在平均數上下1個標準差以內的範圍
（2）大約有95%的值會落在平均數上下2個標準差以內的範圍
（3）大約有99.7%的值會落在平均數上下3個標準差以內的範圍
2.針對任何分佈的Chebyshev法則：
（1）「至少」有75%的值會落在平均數上下2個標準差以內的範圍
（2）「至少」有89%的值會落在平均數上下3個標準差以內的範圍
（3）「至少」有94%的值會落在平均數上下4個標準差以內的範圍
三.設計試驗
1.試驗（experiment）被用來測試變數之間的因果關係，而試驗的對象被稱為試驗單元（experimental unit）
2.設計試驗的三個基本原則：
（1）控制：你必須讓不屬於試驗本身之因素的影響降到最小，為了做到這點，首要之物是必須有控制組（control group）
（2）隨機化：
<1>完全隨機化設計（completely randomized design）：你隨機地將對象進行測試
<2>隨機化區集設計（randomized block design）：你將試驗對象分成類似的群組（group）或區集（block）
（3）複製
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